Veuillez lire les solutions et puis venir me voir pour toute clarification ou question.
Devoir 1
On remarque que je n'étais pas consistente avec l'ordre de (p,q) dans l'expression \(\Vert A \Vert_{p,q}\). La version qu'on préfère, c'est celle qui donne l'inégalité \(\Vert Ax \Vert_p \leq \Vert A \Vert_{p,q}\Vert x \Vert_q\), donc l'ordre inverse d'au moins une fois que je l'avais écrit au tableau au cours. Mille pardons!
Faites attention à l'erreur suivant: \(\max\{ \vert a_i \vert + \vert b_i \vert \mid 1\leq i \leq n\} = \max\{\vert a_i \vert \mid 1\leq i \leq n\} + \max\{\vert b_i \vert \mid 1\leq i \leq n\} \). C'est faux, car on ne sait pas si l'indice \(i\) qui donne la somme maximale correspond aux indices pour lequel chaque composante sera maximale. Par exemple, penser à \(a=(3,2,1), b=(1,3,3.5), a+b = (4,5,4.5)\).
Par contre, c'est vrai que si A et B sont deux ensembles, alors \(\max(A+B) = \max(A)+\max(B)\), parce que là on se permet toute somme, et non seulement la somme d'éléments correspondants.
Remarquer que \(\Vert A \Vert\) a la même notation, mais pas le même sens, que \(\Vert Ax \Vert\). Le deuxième représente la norme d'un vecteur dans un espace vectoriel. Le premier représente la norme d'opérateur subordonnée à la norme vectoriel choisit, et sa définition est que c'est le maximum possible du quotient \( \Vert Ax \Vert/\Vert x \Vert\). Et puisque ceci n'est pas une constante, on n'a que \(\Vert Ax \Vert \leq \Vert A \Vert \Vert x \Vert\) en générale.
Devoir 2
J'ai ajouté mes commentaires aux solutions. Voici une réponse à la question B2 dev2q2rep1.m, dev2q2rep2.m, et dev2q2sol.txt version .txt.
Quiz 1
Veuillez noter que \(\{u_1, u_2, \cdots, u_n\}\) est un ensemble de \(n\) vecteurs dans un espace vectoriel tandis que \( (u_1, u_2, \cdots, u_n)\) est un vecteur en \(k^n\), ayant coordonn\'ees \(u_i\). Le quiz demandait de calculer la projection d'un vecteur sur un autre.
Examen de mi-session
Il y aura des questions de type calcul, genre: trouver le conditionnement de A, sa décomposition LU, sa décomposition PLU, son inverse à droite ou à gauche, sa décomposition QR; calculer une projection, résoudre un système avec les décompositions.
Il y aura aussi des question plus théoriques, basées principalement sur les définitions et les résultats qu'on a appris dans le cours. Donc il faut connaître ses définitions, ainsi que les énoncés des théorèmes qu'on a donné au cours.
Les questions du devoir, principalement les parties A, vous donneront une indication des sortes de questions que vous auriez sur l'examen.
Voici les solutions à l'examen de mi-session. La dernière question n'était pas bien réussie donc finalement l'examen a été compté sur 28 au lieu de 30, et on discutera davantage de la distinction d'une base orthonormée.
Quiz 2 (3 mars)
Soit \(A=\left[\begin{matrix} 2&-6&9&9\\0&-1&6&4\\0&0&2&2\\0&0&3&1\end{matrix}\right]\). On vous a donné les valeurs propres: 2, 4, -1, et puis on vous demande de produire une base de \(V_\lambda\), qui est le noyau de \(A-\lambda I\), pour \(\lambda = 2\) et \(\lambda = -1\). Puisque le noyau de \(A-\lambda I\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(Ax=\lambda x\), donner une base de ce noyau est équivalente à vous demander pour un ensemble maximale de vecteurs propres indépendants.
Puisque \(A-2I\) a une colonne de zéros puis trois colonnes avec un pivot, il en suit sans faire un calcul que la forme échélonnée réduite de \(A-2I\) est \( \left[\begin{matrix} 0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{matrix}\right]\). (Si vous ne comprenez pas pourquoi, c'est essentiel que vous revisez vos notes de cours de MAT1741.) Donc le système \((A-2I)x=0\) est équivalente à \(x_1=r, x_2=x_3=x_4=0\) pour \(r\) un paramètre, qui donne \(V_2 = \{ r(1,0,0,0) \mid r\in R\}\) et donc une base est \(\{(1,0,0,0\}\).
On réduit \(A+I\) avec la méthode Gauss-Jordan; ce n'est pas raisonnable de tenter de réduire un système de 4 variables à la main, particulièrement étant donnée que la méthode de Gauss est, comme je l'avais mentionné au premier cours, le raison-d'être du sujet d'algèbre linéaire.
\(A+I=\left[\begin{matrix} 3&-6&9&9\\0&0&6&4\\0&0&3&2\\0&0&3&2\end{matrix}\right]\) et alors \(rang(A+I)=2\), qui donne que \(\dim(V_{-1})=2.\) On continue la réduction gaussienne (je supprime les opérations, mais j'espère que vous pouvez les déduire des résultats):
\( \sim \left[\begin{matrix} 1&-2&3&3\\0&0&3&2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right]\sim \left[\begin{matrix} 1&-2&0&1\\0&0&1&2/3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right] \) qui est en forme réduite, donc qu'on peut lire la réponse facilement, car \(x_1=2x_2-x_4, x_3=-\frac23 x_4\) et \(x_2=s,x_4=t\) sont deux paramètres.
\(V_{-1} = \{ s(2,1,0,0)+t(-1,0,-2/3,1)\mid s,t \in R\}\) donc une base est \(\{(2,1,0,0),(-1,0,-2/3,1)\}\).
Finalement, on vérifie évidement nos réponses. Il faut que \(Ax=\lambda x\), qui est facile à vérifier.
Quiz 2 (28 mars)
Voici les solutions au Quiz 3.