MAT3543, Théorie des Anneaux, Automne 2017, Université d'Ottawa

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Le plan de cours est affiché sur Brightspace (Campus virtuel). Il y a également un petit quiz diagnostique avec quel vous pouvez vous amuser. Veuillez remplir mon doodle afin de m'aider à bien choisir mes heures de bureau.

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Calendrier du cours (approximatif)

Il y aura un petit devoir à remettre le mardi de chaque semaine. Je vous invite à télécharger votre devoir sur Brightspace, mais vous pouvez également le remettre à mon bureau avant 16h00 (glisser-le sous ma porte au besoin).

Date

Sections du manuel

Sujets

(et en parenthèses, les sections de mes notes de cours correspondantes)

Exercices et devoirs

Quand un exercice est différent entre les deux éditions, celui en [parenthèses] est de la 3e édition. Il y a également plusieurs exercices dans les notes de cours.

6 sept

Sec. 3.1

Introduction, rappels, exemples d'anneaux, axiomes. (1.1, 1.2)

Exercices de revision:

2.5 1,3,8; 2.8 1,17; 2.9 1,3,11,12,15; 2.10 1=[20], 2,8,9,17,24.

Devoir #1 (à remettre mardi le 12 septembre) : 2.9 #13(c); 2.10 #4(a).

11 sept

Sec. 3.1 (et quaternions de 3.2)

Choix d'axiomes: pseudo-anneaux, corps, algèbres à division, le groupe d'unités. (1.3, 1.4, 1.5)

Exercices suggérés: 3.1 6, 9, 10;
3.2 15, 31=[démontrer la représentation de \(\mathbb{H}\) comme matrices complexes.]

13 sept

Sec. 3.1

Groupe d'unités, constructions, sous-anneaux, caractéristique, éléments nilpotents et idempotents (1.5, 1.6)

 Exercices suggérés: 3.1 3, 4, 7
Devoir #2 (à remettre mardi le 19 septembre) : 3.1 #5, #10.

18 sept

Sec 3.1, 3.2

Caractéristique, diviseurs de zéro, éléments nilpotents et idempotents, anneaux intègres (1.7, 1.8, 1.9)

 Exercices suggérés: 3.1 11, 18, 22
3.2 1, 2, 3, 30

20 sept

3.2

Corps commutatifs, corps de fractions d'un anneau intègre (1.10, 1.11)

 Exercices suggérés: 3.2 10, 20, 24, 28, 29
Devoir #3 (à remettre mardi le 26 septembre) : 3.2 19, 32 et: Soit \(G\) un groupe fini, et \(\mathbb{C}[G]\) son anneau de groupe. On écrit \(\sum_{g\in G}a_g g\) pour un élément de \(\mathbb{C}[G]\). Démontrer que \(e = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} g\) est idempotent.

25 sept

Sec. 3.1, 3.4

Les homomorphismes (2.1, 2.2)

 Exercices suggérés: 3.1 36, 37, 38, 39, 43
3.4 1, 4, 5, 6

27 sept

Sec. 3.3

Les idéaux et les quotients, théorème d'isomorphisme (2.2, 2.3)

 Exercices suggérés: 3.3 1, 2, 4, 9, 15, 23
Devoir #4 (à remettre mardi le 3 octobre) : 3.3 5(b), 14(b), 34(c); 3.4 #5

2 oct

Sec. 3.4

Les idéaux maximals et premiers, et le théorème des restes chinois (2.3, 2.4)

 Exercices suggérés: 3.4 #11, 12 (indice: démontrer qu'il y a un entier z tel que l'équation n'a aucune solution dans \(\mathbb{Z}_z\)), 19, 22, 43
Devoir #5 (à remettre mardi le 10 octobre) : 3.4 #32, 33 et résoudre l'énigme des pirates (sur Brightspace).

4 oct

Sec. 4.1

Les polynômes, l'algorithme de division, théorème d'évaluation, Théorème de reste, racines des polynôme. (3.1, 3.2, 3.3)

 4.1 # 4(a), 6, 14(a), 29, 31, 34

9 oct

Action de graces; pas de cours

    

11 oct

Sec. 4.2

Factorisation des polynômes, polynômes irreductibles, Théorème fondamental de l'algèbre, polynômes irreductibles sur le corps R des nombres réels (3.4)

 4.2 #4(a), 5(a), 10, 14, 16, 18(a), 22(a), 23(a)

16 oct

Examen de mi-session

  

18 oct

 Sec. 4.2

Lemme de Gauss, test d'irréductibilité modulaire, polynômes irreductibles sur le corps Q des nombres rationels; critère d'Eisenstein (3.5)

23 oct

Période d'étude

    

25 oct

Période d'étude

    

30 oct

Sec. 4.2

Factorisation, pgcd, unicité de la factorisation -- en F[x] (3.6)

4.2 #27, 38, 39(a), 42;
4.3 #24

1 nov

Sec. 4.3

Idéaux et quotients des anneaux des polynômes (3.6, 4.1)

 4.3 #1(a), 2(d), 3, 7(a), 11, 14(a), 29;
5.1 #2, 3(a), 6, 8

6 nov

Sec. 5.1

Factorisation, éléments irreductibles et premiers, pgcd dans un anneau intègre

(4.2, 4.3)		 5.1 #9, 10(a), 12(a), 13(a), 15, 25(a), 27

8 nov

Sec. 5.1, 5.2

Anneaux factoriels, anneaux principaux (4.4, 4.5)

 5.1 #19, 23
5.2 #1, 3, 8, 10

13 nov

Sec. 5.2

Anneaux euclidiens (4.6, 4.7)

 5.2 #1, 5, 10, 14, 16, 19, 24(a), 29 

15 nov

Sec. 6.1

Extension de corps; espaces vectoriels and corps commutatifs; Extensions algébriques et transcendantes (5.1, 5.2)

 6.1 #2(c,d), 7(d), 9(a), 14, 15, 19(b)

20 nov

Sec. 6.2

Corps engendré par une liste d'éléments; discussion d'extensions de corps possibles (5.3, 5.4, 5.5)

6.2 #1(a), 2(a), 4(a), 9, 12(a), 14

22 nov

Sec. 6.2

Polynômes minimaux, la structure des extensions algébriques simples, comparaison de sous-corps (5.5, 5.6, 5.7)

 6.2 #7, 8

27 nov

Sec. 6.2

Les degrés des extensions algébriques (5.8)

 6.2 #16, 18, 21, 32, 33

29 nov

Sec. 6.3, 6.4

Théorème de Kronecker, corps de décomposition d'un polynôme, les corps finis (5.9, 5.10)

6.3 #1(c), 2(a), 4(d), 6, 8, 21
6.4 #1(a), 2, 3

4 déc

Sec. 6.4

Les corps finis

 6.4 #7, 8, 20, 23

6 déc

à voir

  

9 déc

Examen final